Question

给出下列四个命题，正确的命题是

②④

；
①定义在R上的函数f（x），函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于y轴对称；
②若f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，则k的范围是（-∞，1）；
③已知f（x）=1+log₂x（1≤x≤16），则函数y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，34]；
④[x]表示不超过x的最大整数，当x是整数时[x]就是x，这个函数y=[x]叫做“取整函数”．那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=649．

Answer 1

分析：由函数图象关于直线对称的公式，可得①不正确；
用换元法结合二次函数求最值的方法，可得f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，则k的范围是（-∞，1），故②正确；
对于③，首先y=f²（x）+f（x²）的定义域为：x∈[1，4]，然后用二次函数求最闭区间上最值的方法可得函数y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，14]，得到③不正确；
根据取整函数的定义，可得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+7=649，故④正确．

解答：解：对于①，函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，而不是关于y轴对称，故①不正确；
对于②，令t=3^x，f（x）=g（t）=t²-（k+1）t+1在t＞0时函数值恒为正数
（1）当k≤-1时，函数最小值为g（0）=1＞0，符合题意；
（2）当k＞-1时，函数最小值为g（

k+1

2

）=-

(k+1)2

4

+1＞0，解之得-1＜k＜1
综上所述，可得若f（x）=9^x-（k+1）3^x+1＞0恒成立，则k的范围是（-∞，1），故②正确；
对于③，y=f²（x）+f（x²）的定义域满足：1≤x≤16且1≤x²≤16，可得x∈[1，4]
∴y=f²（x）+f（x²）=log₂²x+4log₂x+2，其中log₂x∈[0，2]
可得当log₂x=0时，y的最小值为2，当log₂x=2时，y的最大值为14，
因此函数y=f²（x）+f（x²）的值域是[2，14]，故③不正确；
对于④，根据取整函数的定义，可得[log₂1]=0，[log₂2]=[log₂3]=1，[log₂4]=[log₂5]=[log₂6]=[log₂7]=2，
[log₂8]=[log₂9]=[log₂10]=[log₂11]=[log₂12]=[log₂13]=[log₂14]=[log₂15]=3，…，依此类推，可得
[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂128]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+7=649，故④正确．

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数图象的对称性、二次函数求闭区间上的最值和取整函数的应用等知识点，属于基础题．