Question

已知函数f(x)＝e^x－x(e为自然对数的底数)．

(Ⅰ)求f(x)的最小值；

(Ⅱ)设不等式f(x)＞－ax的解集为P，且{x|0≤}x≤2}P，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)设nN*，证明：＜．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解： 　　f(x)的导数(x)＝ex－1． 　　令(x)＞0，解得x＞0；令(x)＜0，解得x＜0． 　　从而f(x)在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增． 　　所以，当x＝0时，f(x)取得最小值1．　　3分 　　(Ⅱ)解： 　　因为不等式f(x)＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}P， 　　所以对于任意x∈[0，2]，不等式f(x)＞ax恒成立．　　4分 　　由f(x)＞ax，得(a＋1)x＜ex． 　　当x＝0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈(0，2]的情况．　　5分 　　将(a＋1)x＜ex变形为a＜， 　　令g(x)＝－1，则g(x)的导数(x)＝， 　　令(x)＞0，解得x＞1；令(x)＜0，解得x＜1． 　　从而g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，2)内单调递增． 　　所以，当x＝1时，g(x)取得最小值e－1， 　　从而实数a的取值范围是(－∞，e－1)．　　8分 　　(Ⅲ)证明： 　　由(Ⅰ)得，对于任意x∈R，都有ex－x≥1，即1＋x≤ex．　　9分 　　令x＝(n∈N*，i＝1，2，…，n－1)，　则0＜1＜ 　　∴　(i＝1，2，…，n－1)， 　　即　(i＝1，2，…，n－1)． 　　∴ 　　∵e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－1＋1＝， 　　∴　　14分