Question

某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．

Answer 1

分析：（I）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；
（II）先算出选出的两名同学的基本事件数，有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），共6种；再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；
（III）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可，方差小些的比较稳定．

解答：解：（I） P=

n

m

=

4

60

=

1

15

∴每个同学被抽到的概率为

1

15

（2分）
课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1（4分）
（II）把3名男同学和1名女同学记为a₁，a₂，a₃，b，
则选取两名同学的基本事件有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），共6种，
其中有一名女同学的有3种
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P=

3

6

=

1

2

（8分）
（III）

.

x

1=

68+70+71+72+74

5

=71，

.

x

2=

69+70+70+72+74

5

=71
∴

s

2 1

=

(68-71)2+(74-71)2

5

=4，

s

2 2

=

(69-71)2+(74-71)2

5

=3.2
∴女同学的实验更稳定（12分）

点评：本题主要考查分层抽样方法、概率的求法以及方差，是一道简单的综合性的题目，解答的关键是正确理解抽样方法及样本估计的方法，属于基础题．