Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，A为锐角，已知向量

p

=（1，

3

cos

A

2

），

q

=（2sin

A

2

，1-cos2A），且

p

∥

q

．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cosA•cos2x+

3

2

•sin2x，x∈[-

π

6

，

π

3

]的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）结合向量平行的坐标表示可得关于A的三角关系式，然后利用和差公式化简，求出A
（2）利用和差公式化简f（x）=

6

2

sin（2x+

π

4

），再根据自变量的范围，求求出最大值

解答： 解：（1）∵

p

=（1，

3

cos

A

2

），

q

=（2sin

A

2

，1-cos2A），且

p

∥

q

．
∴1×（1-cos2A）-

3

cos

A

2

•2sin

A

2

=0，
∴cos2A+

3

sin2A=1，
∴2sin（2A+

π

6

）=1，
∴2A+

π

6

=

π

2

+2kπ，
∴A=Kπ+

π

6

，
∵A为锐角，
∴A=

π

6

（2）f（x）=cosA•cos2x+

3

2

•sin2x=

3

2

（cos2x+sin2x）=

6

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

12

，

11π

12

]，
∴当2x+

π

4

=

π

2

时，函数f（x）有最大值，最大值为

6

2

点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示的应用和差公式公式及同角基本关系的应用，属于中档题