Question

2．设a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是a与b的等比中项，log_ax=log_by=3，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 运用等比数列中项的性质，可得ab=2，由对数的定义可得xy，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：设a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是a与b的等比中项，
可得ab=2，
由log_ax=log_by=3可得x=a³，y=b³，
xy=（ab）³=8，
且x＞0，y＞0，
由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≥2$\sqrt{\frac{1}{xy}}$=2$\sqrt{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当x=y=2$\sqrt{2}$时，取得等号．
即有$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，考查等比数列的中项的性质，考查运算能力，属于中档题．