Question

已知等差数列中，，，令，数列的前n项和为.

（1）求的通项公式；

（2）求证：；

（3）通过对数列的探究，写出“成等比数列”的一个真命题并说明理由（，）.

  说明：对于第（3）题，将根据对问题探究的完整性，给予不同的评分.

Answer 1

同下

解析:

（1）设数列的公差为，由,.

解得，=3      ∴.        ……4分

(2)  

∴   ∴；8分

(3)由(2)知，    ∴，

 若成等比数列，则即．……10分

以下6分按3个层次评分

第一层次满分3分：

例如：因为，所以只有满足的大于1的正整数，才有可能使得成立                           ……13分

或者取具体数值探究如：

当时，，=16，符合题意；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；

当时，，无正整数解；         ……13分

或者描述性说明，如：

因为，，所以只有当取值较小时，才有可能使得成立                                  ……13分

第二层次3+2分：

在第一层次的基础上继续探究，并明确指出：当正整数m=2,n=16时，成等比数列. 如：

不等式即，解得，所以（舍去），。当时，，=16，符合题意；所以当正整数m=2,n=16时，成等比数列.                        ……15分

（注：）

或者如：当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得成等比数列.所以当正整数m=2,n=16时，成等比数列.   ……15分

第三层次5+1分：

在前面探索的基础上，写出“成等比数列”的真命题：当且仅当正整数m=2,n=16时，成等比数列.                    ……16分

（说明：对问题探究的完整性体现在过程中即可）