Question

如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。

⑴求椭圆T与圆O的方程；
⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；
②若，求与的方程。

Answer 1

（1）椭圆的方程为与圆的方程为；（2）①；②的方程为，的方程为或的方程为，的方程为．

试题分析：（1）圆的圆心在原点，又过点为，方程易求，而椭圆过点，这实质是椭圆短轴的顶点，因此，又离心率，故也易求得，其标准方程易得．（2）①看到点到直线的距离，可能立即想到点到直线的距离公式，当然如果这样做的话，就需要求出直线方程，过程相对较难，考虑到直线，由所作的两条垂线，与直线围成一个矩形，从而，我们只要设点坐标为，则，再由点在椭圆上，可把表示为或的函数，从而求出最大值．②这题考查同学们的计算能力，设直线的斜率为，得直线方程，与圆方程和椭圆方程分别联立方程组，求出点坐标，点坐标，同样求出的坐标，再利用已知条件求出，得到直线的方程．
试题解析：(1)由题意知: 解得可知:
椭圆的方程为与圆的方程           4分
(2)①设因为⊥,则因为
所以,           7分
因为  所以当时取得最大值为，此时点    9分
②设的方程为,由解得；
由解得          11分
把中的置换成可得，      12分
所以，
，
由得解得        15分
所以的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为         16分