Question

函数f（x）=2^x和g（x）=x³的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（I）请指出示意图中曲线C₁，C₂分别对应哪一个函数？
（II）证明：x₁∈[1，2]，且x₂∈[9，10]；
（III）结合函数图象的示意图，判断f（6），g（6），f（2011），g（2011）的大小，并按从小到大的顺序排列．

Answer 1

解：（I）C₁对应的函数为g（x）=x³，C₂对应的函数为f（x）．
（II）证明：
令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
所以方程φ（x）=f（x）-g（x）的两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10）
∴x₁∈[1，2]，x₂∈[9，10]
（III）从图象上可以看出，当x₁＜x＜x₂时，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．（9分）
当x＞x₂时，f（x）＞g（x），
∴g（2011）＜f（2011），（11分）
∵g（6）＜g（2011），
∴f（6）＜g（6）＜g（2011）＜f（2011）．（12分）
分析：（I）根据C₂对应的函数值到一个范围以后变化非常快，对应的函数为f（x），函数为g（x）=x³，
（II）构造新函数，使得两个函数做差，则x₁，x₂为函数φ（x）的零点，利用零点的判定定理进行验证，在一个区间的两个端点处函数值的符号．
（III）当x₁＜x＜x₂时，f（x）＜g（x），当x＞x₂时，f（x）＞g（x），根据两个不同的区间上函数的单调性的不同，看出两个函数值的大小．
点评：本题考查指数函数与幂函数的增长的差异，解题的关键是知道指数函数是一个爆炸函数，在一个范围上变化的特别快．