Question

已知函数y=cos²x+sinx·cosx+1(x∈R).

(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的集合.

(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

Answer 1

解:(1)y=cos²x+sinxcosx+1

=(2cos²x-1)++(2sinxcosx)+1

=cos2x+sin2x+

=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

=sin(2x+)+,

y取得最大值必须且只需

2x+=2kπ+,k∈Z,

即x=kπ+,k∈Z,

∴当函数y取最大值时,自变量x的集合为

{x|x=kπ+,k∈Z}.

(2)将函数y=sinx依次进行如下变换:

①把函数y=sinx的图象向左平移,得到函数y=sin(x+)的图象;

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图象;

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图象;

④把得到的图象向上平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)+的图象.