一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰快.容器内盛有a升水时.水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置.水面也恰好过点P.有下列四个命题:1)任意摆放该容器.当水面静止时.水面都恰好经过点P,2)正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半,3)若往容器内再注a升水.则容器恰好能装满,4)将容器侧面水平放置时.水面也恰好过P．其中真命题� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰快，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P，有下列四个命题：
1）任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；
2）正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；
3）若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；
4）将容器侧面水平放置时，水面也恰好过P．
其中真命题的代号为

．

分析：设出图1）的水高，和几何体的高，底面边长，

计算水的体积，容易判断2）、3）的正误；
对于4），当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，根据体积判断它是正确的．
对于1）根据当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，计算水的体积和实际不符，是错误的．

解答：解：设图（1）水的高度h₂几何体的高为h₁，底面边长为b
图（1）中水的体积为

b²h₂，
图（2）中水的体积为b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

h₂，故2）错误，3）正确．
对于4），当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故4）正确．
对于1），假设1）正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
经计算得水的体积为

b²h₂＞

b²h₂，矛盾，故1）不正确．
故答案为：3）4）．

点评：本题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积．

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））
有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是：

（写出所有真命题的代号）．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（08年江西卷理）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：