Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条准线被它的两条渐近线截得线段的长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则双曲线的两条渐近线的夹角为

 

．

Answer 1

分析：先根据双曲线的方程求和双曲线的焦点坐标，渐近线方程及准线方程，把准线方程与渐近线方程联立求得交点的纵坐标，则两交点的距离可求，同时利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离，让二者相等求得a和c的关系，进而求得a和b的关系，则渐近线的斜率可求得，进而求得渐近线的倾斜角，最后求得二者的夹角．

解答：解：根据双曲线方程可知其渐近线方程为y=±

b

a

x，准线方程为x=±

a 2

c

∴准线被它的两条渐近线截得线段的长度等为2•

a2

c

•

b

a

=

2ab

c

焦点坐标为（c，0），则焦点到渐近线方程的距离为

bc

a2+b2

=b
∴b=

2ab

c

，整理得2a=c
∴b=

4a2-a2

=

3

a
∴渐近线方程为y=±

3

x
∴渐近线倾斜角为60°和120°
∴两条渐近线的夹角为60°
故答案为：60°

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题的能力，以及转化和化归思想的运用．