Question

已知向量

m

=(2cos2x，

3

)，

n

=(1，sin2x)，函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x） 的解析式为2sin（

π

6

+2x）+1，由此求得它的最小正周期．
（2）在△ABC中，由f（C）=3求得 C=

π

6

．再利用 c=1，ab=2

3

，且a＞b 以及余弦定理求得a，b的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（

π

6

+2x）+1，
故函数的最小正周期等于

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤

π

6

+2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈z，故函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，2kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（C）=3=2sin（

π

6

+2C）+1，∴sin（

π

6

+2C）=1，∴C=

π

6

．
∵c=1，ab=2

3

，且a＞b，再由余弦定理可得 1=a²+b²-2ab•cosC，故 a²+b²=7．
解得 a=2，b=

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，复合三角函数的周期性、单调性，以及余弦定理的应用，属于中档题．