Question

（2010•河东区一模）在四边形ABCD中，已知A（0，0），D（0，4）点B在x轴上．BC∥AD，且对角线AC⊥BD．
（1）求点C的轨迹T的方程；
（2）若点P是直线y=2x一5上任意一点，过点p作点C的轨迹T的两切线PE、PF、E、F为切点．M为EF的中点．求证：PM∥Y轴或PM与y轴重合：
（3）在（2）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是．请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设点C（x，y）（x≠0，y≠0），则B（x，0），利用BC∥AD，可得点B的坐标，再利用

AC

⊥

BD

?

AC

•

BD

=0即可得出；
（2）对函数y=

1

4

x2求导可得切线的斜率，设切点(x0，

1

4

x

2 0

)，可得切线方程为y-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(x-x0)．设点P（t，2t-5），由于切线经过点P，可得2t-5-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(t-x0)．设点E(x1，

1

4

x

2 1

)，F(x2，

1

4

x

2 2

)．则x₁，x₂是方程x²-2tx+8t-20=0的两个实数根，利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得到点M的横坐标，进而得到结论；
（3）利用（2）可得到点M的坐标，求出斜率，即可得到直线EF的方程，即可得到定点．

解答：解：（1）设点C（x，y）（x≠0，y≠0），则B（x，0），
∴

AC

=(x，y)，

BD

=(-x，4)．
∵

AC

⊥

BD

，∴-x²+4y=0，即y=

1

4

x2(x≠0)．
∴点C的轨迹T是去掉顶点的抛物线．
（2）对函数y=

1

4

x2求导得，y′=

1

2

x．
设切点(x0，

1

4

x

2 0

)，则过该切点的切线的斜率为

1

2

x0．
∴切线方程为y-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(x-x0)．
设点P（t，2t-5），由于切线经过点P，∴2t-5-

1

4

x

2 0

=

1

2

x0(t-x0)．
化为

x

2 0

-2tx0+8t-20=0．
设点E(x1，

1

4

x

2 1

)，F(x2，

1

4

x

2 2

)．
则x₁，x₂是方程x²-2tx+8t-20=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=8t-20．
∴xM=

x1+x2

2

=t．
因此当t=0时，直线PM与y轴重合；
当t≠0时，直线PM与y轴平行．
（3）∵y_M=

1

2

(

1

4

x

2 1

+

1

4

x

2 2

)=

1

8

[(x1+x2)2-2x1x2]
=

1

8

[4t2-2(8t-20)]=

1

2

t2-2t+5．
∴点M(t，

1

2

t2-2t+5)．
又∵k_EF=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

1

4

(x1+x2)=

1

4

×2t=

1

2

t．
∴直线EF的方程为：y-(

1

2

t2-2t+5)=

1

2

t(x-t)，即t（x-4）+10-2y=0．（*）
∴当x=4，y=5时，方程（*）恒成立．
∴对任意实数t，直线EF恒过定点（4，5）．

点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系、直线与抛物线相切问题、根与系数的关系、直线的点斜式及其直线过定点问题等是解题的关键．