Question

对于数列{a_n}，我们把a₁+a₂+…+a_n+…称为级数，设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果存在，，那么级数a₁+a₂+…+a_n+…是收敛的．下列级数中是收敛的有    （填序号）
①1+r+r²+…+r^n-1+…；②；③．

Answer 1

【答案】分析：由题意对于数列{a_n}，我们把a₁+a₂+…+a_n+…称为级数，设数列{a_n}的前n项和为S_n，如果存在，，那么级数a₁+a₂+…+a_n+…是收敛的，有收敛的定义可知，只需判断一下3个数列的前n项和的极限存在即可．
解答：解：对于①，由于r∈R，所以要讨论r的值再求前n项喝的极限，（1）当r=0时，此数列为常数列．所以极限存在为0，（2）当r=1时，此数列仍为常数列1，前n项和为n，此时不存在极限，所以①错；
对于②此数列的通项为，此数列的前n项和记为：=，
所以，极限存在，故此数列收敛，所以②正确；
对于③此数列的通项为=b_n，次数列的前n项和为 
   
利用错位相减法①-②得：⇒，所以，极限存在，故此数列收敛，所以③正确．
故答案为：②③．
点评：此题考查了学生对于新定义的理解及计算能力，数列的求和，数列求极限．