Question

y=x+2sinx在[

π

2

，π]上的最大值是

2π

3

+

3

．

Answer 1

分析：对函数进行求导，得到导函数，令导函数y′=0，求出方程的根，将方程的根的函数值和区间端点的函数值比较大小，即可求出其最大值．

解答：解：∵y=x+2sinx，
∴y′=1+2cosx，x∈[

π

2

，π]，
令y′=1+cosx=0，解得cosx=-

1

2

∈[-1，0]，
当cosx∈[-

1

2

，0]，即x∈[

π

2

，

2π

3

]时，y′=1+2cosx＞0，
∴函数y=x+2sinx在[

π

2

，

2π

3

]上是单调递增函数，
当cosx∈[-1，-

1

2

]，即x∈[

2π

3

，π]时，y′=1+2cosx＜0，
∴函数y=x+2sinx在[

2π

3

，π]上是单调递减函数，
∴当cosx=-

1

2

时，函数y=x+2sinx有最大值为

2π

3

+2×sin

2π

3

=

2π

3

+

3

，
y=x+2sinx在[

π

2

，π]上的最大值是

2π

3

+

3

．
故答案为：

2π

3

+

3

．

点评：本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．解题中要求能对基本题初等函数进行正确的求导，要数学求导的相关运算．属于中档题．