Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ ，若g（x）有极大值点x1 ， 求证： ＞a．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为f′（x）= ﹣2a，x＞0， 因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，
所以f′（x）=﹣ 在（0，+∞）上有解，
即 ﹣2a=﹣ 在（0，+∞）上有解，
也即x= 在（0，+∞）上有解，
所以 ＞0，得a＞ ，
故所求实数a的取值范围是（ ，+∞）；
（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+ x2= x2+lnx﹣2ax，
因为g′（x）= ，
①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，
②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2 ，
因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2 ，
又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，
所以g′（x1）=x12﹣2ax1+ =0，则a= ，
要证明 ＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12 ，
因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣ +1=﹣ ﹣ x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，
令h（x）=﹣ x3﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），
所以h′（x）=﹣ x2﹣ +lnx，记P（x）=﹣ x2﹣ +lnx，x∈（0，1），
则P′（x）=﹣3x+ = ，
当0＜x＜ 时，p′（x）＞0，当 ＜x＜1时，p′（x）＜0，
所以p（x）max=p（ ）=﹣1+ln ＜0，所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，
所以h（x）＞h（1）=0，原题得证
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x= 在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．