Question

设复数x=

1+i

1-i

（i是虚数单位），则

C

0 2010

+

C

1 2010

x+

C

2 2010

x2+…+

C

2010 2010

x2010=（　　）

A．2¹⁰⁰⁴i

B．2¹⁰⁰⁵i

C．-2¹⁰⁰⁵

D．-2¹⁰⁰⁴

Answer 1

分析：易得所求的式子等于（1+x）²⁰¹⁰，把x=

1+i

1-i

代入化简即得答案，涉及iⁿ的运算规律．

解答：解：由二项式定理可得：

C

0 2010

+

C

1 2010

x+

C

2 2010

x2+…+

C

2010 2010

x2010
=（1+x）²⁰¹⁰=(1+

1+i

1-i

)2010=(1+

1+2i+i2

2

)2010
=（1+i）²⁰¹⁰=[（1+i）²]¹⁰⁰⁵=（2i）¹⁰⁰⁵=2¹⁰⁰⁵i¹⁰⁰⁵
=2¹⁰⁰⁵i¹⁰⁰⁴•i=2¹⁰⁰⁵i
故选B

点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，涉及二项式定理的应用，属基础题．