Question

已知双曲线

x2

m

-

y2

m2+4

=1的右焦点到其渐近线的距离为2

2

，则此双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，算出a=

m

、b=

m2+4

、c=

m2+m+4

，从而求出双曲线的渐近线方程为

m2+4

x±

m

y=0，右焦点为F（

m2+m+4

，0）．根据右焦点到渐近线的距离为2

2

，利用点到直线的距离公式建立关于m的等式，解出m=2进而得出a=

2

，c=

10

，可得此双曲线的离心率．

解答：解：∵双曲线

x2

m

-

y2

m2+4

=1中，a²=m，b²=m²+4，
∴a=

m

，b=

m2+4

，c=

a2+b2

=

m2+m+4

，
双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x，
即y=±

m2+4 m

x，化简得

m2+4

x±

m

y=0．
∵双曲线的右焦点F（

m2+m+4

，0）到其渐近线的距离为2

2

，
∴

| m2+4 • m2+m+4 ± m •0|

m2+4+m

=2

2

，即

m2+4

=2

2

，解得m=2（舍负）．
由此可得a=

m

=

2

，c=

m2+m+4

=

10

，
此双曲线的离心率为e=

c

a

=

5

．
故答案为：

5

点评：本题给出含有参数的双曲线方程，在已知右焦点到渐近线距离的情况下求此双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．