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在锐角三解形ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若sinA=8cosBcosC
(I)求tanB+tanC的值;
(II)若a=3,求△ABC面积的最大值.
分析:(I)在锐角三解形ABC中,由sinA=8cosBcosC 利用两角和差的正弦公式可得sinBcosC+cosBsinC=8cosBcosC,由此求得tanB+tanC 的值.
(II)若a=3,由正弦定理可得△ABC面积 S=
1
2
3sinB
sinA
3sinC
sinA
•sinA=
9
16
•tanBtanC,利用基本不等式求得S的最大值.
解答:解:(I)在锐角三解形ABC中,∵sinA=8cosBcosC,
∴sin(B+C)=8cosBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=8cosBcosC.
∴tanB+tanC=8.
(II)若a=3,由正弦定理可得
3
sinA
=
b
sinB
 = 
c
sinC

∴△ABC面积 S=
1
2
bc•sinA
=
1
2
3sinB
sinA
3sinC
sinA
•sinA=
9
2
sinBsinC
sin(B+C)
=
9
2
tanB•tanC
tanB+tanC
=
9
16
•tanBtanC≤
9
16
(
tanB+tanC
2
)
2

=
9
16
×16=9,当且仅当tanB=tanC,即 B=C时,等号成立.
故△ABC面积 S的最大值为9.
点评:本题主要考查两角和差的正弦公式,同角三角函数的基本关系,正弦定理以及基本不等式的应用,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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