Question

（2012•茂名二模）在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮．某单位计划在小区内种植A，B，C，D四棵风景树，受本地地理环境的影响，A，B两棵树的成活的概率均为

1

2

，另外两棵树C，D为进口树种，其成活概率都为a（0＜a＜1），设ξ表示最终成活的树的数量．
（1）若出现A，B有且只有一颗成活的概率与C，D都成活的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列（用a表示）；
（3）若出现恰好两棵树成活的概率最大，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，能够列出方程2×

1

2

×(1-

1

2

)=a2，由此能够求出实数a．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）和P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列．
（3）由0＜a＜1，得

1

4

(1-a)2＜

1

2

(1-a)，

a2

4

＜

a

2

，由此能求出恰好两棵树成活的概率最大时的a的取值范围．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）∵A，B两棵树的成活的概率均为

1

2

，另外两棵树C，D成活概率都为a（0＜a＜1），
出现A，B有且只有一颗成活的概率与C，D都成活的概率相等，
∴2×

1

2

×(1-

1

2

)=a2，
∴a=

2

2

．…（2分）
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4．…（3分）
P（ξ=0）=

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2=

1

4

(1-a)2，…（4分）
P（ξ=1）=

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)

C

0 2

(1-a)2+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a)，…（5分）
P（ξ=2）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

(1+2a-2a2)，…（6分）
P（ξ=3）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

a

2

，…（7分）
P（ξ=4）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

2 2

a2=

a2

4

．…（8分）
得ξ的分布列为：…（9分）

ξ	0	1	2	3	4
P	1 4 (1-a)2	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	a 2	a2 4

（3）由0＜a＜1，显然

1

4

(1-a)2＜

1

2

(1-a)，

a2

4

＜

a

2

，…（10分）
∴P（ξ=2）-P（ξ=1）=

1

4

(1+2a-2a2)-

1

2

(1-a)=-

1

4

(2a2-4a+1)≥0，…（11分）
P（ξ=2）-P（ξ=3）=

1

4

(1+2a-2a2)-

a

2

=-

1

4

(2a2-1)≥0，…（12分）
由上述不等式解得a的取值范围是

2- 2

2

≤a≤

2

2

．…（13分）

点评：本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列的求法，求概率最大时实数的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的灵活运用．