Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足条件：f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f（x）的命题：
①f（x）是周期函数；    
②f（x）在[0，1]上是增函数    
③f（x）在[1，2]上是减函数       
④f（2）=f（0）
其中正确的命题序号是

①④

．（注：把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函数的定义可以判断①的正误；
根据偶函数在对称区间上对称性相反，结合已知f（x）在[-1，0]上是增函数，可判断②的真假；
根据函数的周期性及②中结论，可判断③的真假；
根据函数的周期性，可判断④的真假；

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），故f（x）是以2为周期的周期函数，故①正确；
∵偶函数f（x）在对称区间上单调性相反，且f（x）在[-1，0]上是增函数，得f（x）在[0，1]上是减函数，故②错误；
∵f（x）在[-1，0]上是增函数，且f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（x）在[1，2]上是增函数，故③错误；
∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（2）=f（0），故④正确；
故答案为：①④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的单调性，奇偶性和周期性，其中熟练掌握周期函数在对应周期上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反等性质是解答的关键．