Question

类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明．

Answer 1

【答案】分析：由勾股定理是平面二维的线与线之间的关系，类比到三维空间可猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD，S_△BCD² =•BE²
=（AB²+AE²）=（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化简即得结论．
解答：解：线的关系类比到面的关系，猜测：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．
理由如下：
如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S_△BCD² =•BE² =（AB²+AE²）
=（AC²+AD²）（AB²+AE²）
=（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）
=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²
点评：本题考查类比推理，体现了数形结合的数学思想．其中由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质．