Question

已知⊙O的圆心为原点，与直线x+3y+10=0相切，⊙M的方程为（x-8）²+（y-6）²=4，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B．
（1）求⊙O的方程；
（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；
（3）求的最大值与最小值．

Answer 1

解：（1）∵⊙O的圆心为原点，与直线x+3y+10=0相切
∴圆心到直线的距离等于半径
∴⊙O的方程为x²+y²=10（4分）
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大
因为直线PA的斜率一定存在，设直线PA的方程为：y-6=k（x-8）
又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为
即，可得k=
所以直线PA的方程为：x-3y+10=0或13x-9y-50=0 （10分）
（3）设∠AOP=α，则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α
∴cos∠AOB=2cos²α-1=-1
∴=cos∠AOB=
∵|OP|_max=10+2=12，|OP|_min=10-2=8
∴（）_max=-，（）_min=-（16分）
分析：（1）利用⊙O的圆心为原点，与直线x+3y+10=0相切，求出圆的半径，从而可得⊙O的方程；
（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大，从而可设直线PA的方程，利用PA与圆O相切，可得圆心（0，0）到直线PA的距离为，进而可求直线PA的方程；
（3）=cos∠AOB=，利用|OP|的最大与直线，可求求的最大值与最小值．
点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径是解题的关键．