Question

已知数列｛b_n｝是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100.

（Ⅰ）求数列｛b_n｝的通项b_n；

（Ⅱ）设数列｛a_n｝的通项a_n=lg（1+），记S_n是数列｛a_n｝的前n项和，试比较S_n与lgb_n+1的大小，并证明你的结论.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）设数列｛bn｝的公差为d，由题意得 解得  ∴bn=2n－1. （Ⅱ）由bn=2n－1，知 Sn=lg（1+1）+lg（1+）+…+lg（1+） =lg［（1+1）（1+）…（1+）］， lgbn+1=lg. 因此要比较Sn与lgbn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）…（1+）与的大小. 取n=1，有（1+1）＞， 取n=2，有（1+1）（1+）＞，…… 由此推测（1+1）（1+）…（1+）＞.　　   ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：Sn＞lgbn+1. 下面用数学归纳法证明①式. （i）当n=1时已验证①式成立. （ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞. 那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）…（1+）［1+］＞ ·（1+）=（2k+2）. ∵［（2k+2）］2－（）2 ＝， ∴. 因而  这就是说①式当n=k+1时也成立. 由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立. 由此证得：Sn＞lgbn+1.