Question

广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧州市场，在欧债危机的影响下，欧州市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自2010年9月以来的第n个月（2010年9月为每一个月），产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为b_n、c_n和a_n（单位万件），分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：b_n+1=aa_n，c_n+1=a_n+b（其中a、b为常数），且a₁=1万件，a₂=1.5万件，a₃=1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出a_n+1与a_n满足的关系式；
（2）如果该企业产品的销售总量a_n呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运作正常且不会出现资金危机；试证明：a_n＜a_n+1＜2．
（3）试求从2010年9月份以来的第n个月的销售总量a_n关于n的表达式．

Answer 1

解：（1）依题意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，
又a₂=aa₁+a₁+ba₁²，∴a+1+b=…①
又a₃=aa₂+a₂+ba₂²，∴…②
解①②得a=1，b=-从而a_n+1=2a_n-a_n²（n∈N^*）…（4分）
（2）证法（Ⅰ）由于a_n+1=2a_n-a_n²=-（a_n-2）²+2≤2．
但a_n+1≠2，否则可推得a₁=2与a₁=1矛盾．故a_n+1＜2，于是a_n＜2，
又a_n+1-a_n=-a_n²+2a_n-a_n=-a_n（a_n-2）＞0，
所以a_n+1＞a_n，从而a_n＜a_n+1＜2．…（9分）
方法（Ⅱ）用数学归纳法
（ⅰ）当n=1时，a₁=1，a₂=1.5，显然a₁＜a₂＜2成立，
（ⅱ）假设n=k时，a_k＜a_k+1＜2成立．
由于函数f（x）=-x²+2x=-（x-2）²+2在[0，2]上为增函数，
则f（a_k）＜f（a_k+1）＜f（2）即a_k（4-a_k）＜a_k+1（4-a_k+1）＜×2×（4-2）
即a_k+1＜a_k+2＜2成立．综上可得n∈N^*有a_n＜a_n+1＜2．…（9分）
（3）由a_n+1=2a_n-a_n²得2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²，即（2-a_n+1）=（2-a_n）²，
又由（2）知a_n＜a_n+1＜2，可知2-a_n+1＞0，2-a_n＞0，
则lg（2-a_n+1）=2lg（2-a_n）-lg2，∴lg（2-a_n+1）-lg2=2[lg（2-a_n）-lg2]
即{lg（2-a_n+1）-lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg（2-a₁）-lg2=-lg2
故lg（2-a_n）-lg2=（-lg2）•2^n-1，∴a_n=2-（n∈N^*）为所求．…（13分）
分析：（1）依题意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，推出a+1+b=，以及，求出a=1，b=-得到a_n+1=2a_n-a_n²（n∈N^*）．
（2）证法（Ⅰ）利用a_n+1=2a_n-a_n²=-（a_n-2）²+2≤2．可推得a₁=2与a₁=1矛盾．故a_n+1＜2，于是a_n＜2，通过单调性证明a_n＜a_n+1＜2．
方法（Ⅱ）用数学归纳法证明（ⅰ）验证n=1时a₁＜a₂＜2成立，（ⅱ）假设n=k时，a_k＜a_k+1＜2成立．证明n=k+1时不等式也成立．
（3）通过a_n+1=2a_n-a_n²，推出{lg（2-a_n+1）-lg2}为等比数列，公比为2，然后求出a_n=2-（n∈N^*）．
点评：本题考查数列的关系式，数学归纳法的应用，数列的函数特征，函数的单调性的应用，数列通项公式的求法，考查转化思想，逻辑推理能力．