Question

如图，在坐标平面内△ABC的顶点A（0，2），B（-1，0），C（1，0），有一个随t变化的带形区域，其边界为直线y=t和y=t+1，设这个带形区域覆盖△ABC的面积为S，试求以t为自变量的函数S的解析式，并画出这个函数的图象．

Answer 1

分析：因为带形区域覆盖△ABC的图形不确定，所以分三种情况进行讨论，分别求出解析式得到S是一个分段函数．

解答：解：根据t的取值范围分情况讨论：
（1）当0≤t≤1时，带形区域覆盖△ABC的图形为梯形DEGF，由题可知这个梯形的高为1
根据题中的条件解出：直线AC的解析式为y=-2x+2．则下底为DE=2NE=2（-2t+2）；上底为FG=2MG=-4t．
根据梯形的面积公式得：S=

1

2

(-4t+4-4t)×1=-4t+2  0≤t≤

1

2

2）当1＜t≤2时，带形区域覆盖△ABC的图形为三角形ADE的面积，则三角形的高为2-t，底为DE=-4t+4
根据三角形的面积公式得：S=

1

2

(2-t)(-4t+4)=2t²-6t+4因为t＞1舍去；
（3）当-1＜t＜0时，带形区域覆盖△ABC的图形为梯形BCGF，高为t+1，上底为FG=-4t，下底为2
根据梯形的面积公式得：S=

1

2

(2-4t)(t+1)=-2t²-t+1．
∴S=

-4t+2    t∈(0 1 2 ) -2t2-t+1   t∈(-1，0)

据（1）（3）中的解析式画出函数的草图为：

点评：此题考查学生根据实际问题选择函数关系的能力．