Question

5．已知函数f（x）=（x²-2ax+2）e^x．
（1）函数f（x）在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；
（2）当a＞0时，若曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）切点在曲线上，求得b=-2，对函数求导，利用导数的几何意义，得出f'（0）=-2，从而求得a=2；
（2）曲线y=f（x）上存在三条斜率为k的切线，等价于其导数等于k有三个解，结合函数图象的走向，从而确定出其范围应该介于极小值和极大值之间即可．

解答 解：（1）f（x）=（x²-2ax+2）e^x，
f（0）=2e⁰=2，2+b=0，得b=-2，
f′（x）=（x²-2ax+2+2x-2a）e^x=[x²+（2-2a）x+2-2a]e^x，
f′（0）=2-2a=-2，求得a=2，
∴a=2，b=-2．
（2）f′（x）=[x²+（2-2a）x+2-2a]e^x，
令h（x）=f（x），依题知存在k使h（x）=k有三个不同的实数根，
h′（x）=（x²-2ax+2+2x-2a+2x-2a+4）e^x=[x²+（4-2a）x+4-4a]e^x，
令h′（x）=[x²+（4-2a）x+4-4a]e^x=0，求得x₁=-2，x₂=2a-2，
由a＞0知x₁＜x₂，
则f′（x）在（-∞，-2），（2a-2，+∞）上单调递增，
在（-2，2a-2）上单调递减．
当x→-∞时，f'（x）→0，当x→+∞时，f'（x）→+∞，
∴f′（x）的极大值为f'（-2）=e^-2（2a+2），
f′（x）的极小值为f'（2a-2）=e^2a-2（2-2a），
所以此时e^2a-2（2-2a）＜k＜e^-2（2a+2）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．