Question

已知函数f（x）=cos²x-

3

sinxcosx+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（θ）=

5

6

，θ∈（

π

3

，

2π

3

），求sin2θ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，借助于二倍角公式化简函数解析式：f（x）=cos（2x+

π

3

），然后，根据三角函数的周期公式进行求解；
（2）根据f（θ）=

5

6

，得到cos(2θ+

π

3

)+

3

2

=

5

6

，然后得到sin(2θ+

π

3

)=-

5

3

，结合2θ=（2θ+

π

3

）-

π

3

，利用两角差的正弦公式，求解sin2θ的值．

解答： 解：∵(1)f(x)=

1+cos2x

2

-

3

2

sin2x+1=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

3

2

=cos(2x+

π

3

)+

3

2

∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
(2)∵f(θ)=

5

6

，
∴cos(2θ+

π

3

)+

3

2

=

5

6

，
∴cos(2θ+

π

3

)=-

2

3

，θ∈(

π

3

，

2π

3

)⇒π＜2θ+

π

3

＜

5π

3

，
∴sin(2θ+

π

3

)=-

5

3

，
∴sin2θ=sin[(2θ+

π

3

)-

π

3

]=sin(2θ+

π

3

)cos

π

3

-cos(2θ+

π

3

)sin

π

3

 =

2 3 - 5

6

∴sin2θ的值

2 3 - 5

6

．

点评：本题综合考查了二倍角公式，周期公式，角的拆分等知识，属于中档题．