Question

1．（1）已知点$A（-\frac{1}{2}，0）$，点B是圆$F：{（x-\frac{1}{2}）^2}+{y^2}=4$上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$
（2）在平面直角坐标系中，A，B分别为x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则动圆圆心C的轨迹为抛物线．

Answer 1

分析 （1）先根据题意可知|BP|+|PF|正好为圆的半径，而PB|=|PA|，进而可知|AP|+|PF|=2．根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，根据A，F求得a，c，进而求得b，答案可得；
（2）由题意画出图形，利用圆心到圆的切线的距离等于圆的半径可得，动圆圆心C的轨迹为抛物线．

解答 解：（1）如图
圆$F：{（x-\frac{1}{2}）^2}+{y^2}=4$的圆心坐标为F（$\frac{1}{2}$，0），半径为2，
依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|，
∴|AP|+|PF|=2，
根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，
a=1，c=$\frac{1}{2}$，则有b=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故点P的轨迹方程为${x}^{2}+\frac{4}{3}{y}^{2}=1$；
（2）如图
∵圆C是以AB为直径得圆，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB，
又圆C与直线2x+y-4=0相切，
∴C到直线2x+y-4=0的距离CD=OC，
由抛物线定义可知，C的轨迹是以O为焦点，以2x+y-4=0为准线的抛物线．
故答案为：（1）${x^2}+\frac{{4{y^2}}}{3}=1$；（2）抛物线．

点评 本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，是中档题．