Question

19．如图，M为曲线y=-$\frac{4}{x}$上的一点．过点M作x轴、y轴的垂线．垂足分别为E、F．分别交直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m于点D、C两点．若直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m与y轴交于点A．与x轴相交于点B；
（1）若四边形MEOF为正方形，求M的坐标；
（2）求AD•BC的值．

Answer 1

分析 （1）利用四边形MEOF为正方形，设出M的坐标，代入求解即可．
（2）先设M点的坐标为（a，），则把y=代入直线y=-x+m即可求出C点的纵坐标，同理可用a表示出D点坐标，再根据直线y=-x+m的解析式可用m表示出A、B两点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出AD•BC的值．

解答 解：（1）因为四边形MEOF为正方形，
设M（-a，a），a＞0，代入曲线y=-$\frac{4}{x}$，
可得a=$\frac{4}{a}$，解得a=2，M的坐标（-2，2）．
（2）设M点的坐标为（a，$-\frac{4}{a}$），a＜0
∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B，
∴A点坐标为（0，m），B点坐标为（-$\sqrt{3}$m，0），
∵C和M点的纵坐标相同为$-\frac{4}{a}$，
∴点C的横坐标为-$\sqrt{3}m-\frac{4\sqrt{3}}{a}$，
∴点C的坐标为（-$\sqrt{3}m-\frac{4\sqrt{3}}{a}$，$-\frac{4}{a}$），
同理可得D点的坐标为（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}a+m$），
∴AD=$\sqrt{{a}^{2}+（{\frac{\sqrt{3}}{3}a）}^{2}}$=$-\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，BC=$\sqrt{（-\frac{4\sqrt{3}}{a}）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$-\frac{8}{a}$，
∴AD•BC=$-\frac{2\sqrt{3}a}{3}×（-\frac{8}{a}）$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质很重要，先设出M点坐标，用M点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．