Question

设公比大于零的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，数列{b_n}的前n项和为T_n，满足b₁=1，，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若数列{C_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用a₁=1，S₄=5S₂，求出数列的公比，即可求数列{a_n}的通项公式；通过，推出，利用累积法求解{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出等比数列的前n项和，化简C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），推出C_n+1-C_n，利于基本不等式求出数列{C_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
解答：（本题满分14分）
解：（Ⅰ）由S₄=5S₂，q＞0，得  …（3分）
又（n＞1），
则得
所以，当n=1时也满足．  …（7分）
（Ⅱ）因为，所以，使数列{C_n}是单调递减数列，
则对n∈N^*都成立，…（10分）
即，…（12分）
，
当n=1或2时，，所以．     …（14分）
点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，累积法的应用以及数列的函数的特征的应用，考查计算能力．