Question

已知过原点O作函数f（x）=e^x（x²-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求实数a的取值范围．
（Ⅱ）求证：x₁＜-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设切点为（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x₀处的导数，从而求出切线的斜率，即可表示出切线方程，然后减（0，0）代入得x₀³+ax₀-a=0，根据切线恰有三条，转化成方程x³+ax-a=0有三个不同的解，最后利用导数研究即可；
（Ⅱ）根据g（x）=x³+ax-a，x→-∞，g(x)→-∞，g(-

- a 3

)＞0，根据函数连续性知-∞＜x1＜-

- a 3

，根据a的范围可知g（-3）=-27-4a＞0，即可求出x₁的范围．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x²+x+a-1），
设切点为（x₀，y₀），则切线方程为：y-e^x₀（x₀²-x₀+a）=e^x₀（x₀²+x₀+a-1）（x-x₀），
代入（0，0）得x₀³+ax₀-a=0，
由题意知满足条件的切线恰有三条，
则方程x³+ax-a=0有三个不同的解．（2分）
令g（x）=x³+ax-a，g′（x）=3x²+a．
当a≥0时，g′（x）≥0，g（x）是（-∞，+∞）上增函数，则方程x³+ax-a=0有唯一解．（3分）
当a＜0时，由g′（x）=0得x=±

- a 3

，g（x）在(-∞，-

- a 3

)和(

- a 3

，+∞)上是增函数，
在(-

- a 3 ，

- a 3

)上是减函数
要使方程x³+ax-a=0有三个不同的根，
只需

g(- - a 3 )＞0 g( - a 3 )＜0.

(- - a 3 )3-a( - a 3 )-a＞0 ( - a 3 )3+a - a 3 -a＜0.

（5分）
解得a＜-

27

4

．（6分）
（Ⅱ）∵g（x）=x³+ax-a，x→∞g(x)→∞g(-

- a 3

)＞0，
由函数连续性知-∞＜x₁＜-

- a 3

，（8分）
∵a＜-

27

4

，∴g（-3）=-27-4a＞0，（10分）
且-3＜-

-a 3

，∴x₁＜-3．（12分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．