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(2007全国Ⅱ,22)已知函数,

(1)求曲线y=f(x)在点M(tf(t))处的切线方程;

(2)a0,如果过点(ab)作曲线y=f(x)的三条切线,

证明:-abf(a)

答案:略
解析:

解析:(1)求函数f(x)的导数

曲线y=f(x),在点M(tf(t))处的切线方程为

(2)如果有一条切线过点(ab),则存在t,使

于是,若过点(ab)可作曲线y=f(x)的三条切线,

则方程.有三个相异的实数根.

,则

t变化时,g(t)变化情况如下表:

g(t)的单调性,当极大值ab0或极小值bf(a)0时,方程g(t)=0最多有一个实数根;

ab=0时,解方程g(t)=0,得

即方程g(t)=0只有两个相异的实数根;当bf(a)=0时,解方程g(t)=0,得t=a,即方程g(t)=0,只有两个相异的实数根.

综上,如果过(ab)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(t)=0有三个相异的实数根,则

即-abf(a)


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