Question

椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny-4=0与圆C′：x²+y²=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可求得a=2，再利用其离心率e===可求得b，从而可求得椭圆C的方程；
（2）设圆心O到直线L的距离为d，可求得d=，结合n∈（0，1]，可求得d的范围；利用基本不等式可求得S_△OAB最大值为2，继而可得n，m的值，从而可求得直线L的方程．
解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，
∴a=2，又e===得b=1，
∴所求椭圆方程为+y²=1．
（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d=，又有+n²=1，
所以d==，又n∈（0，1]，
∴d∈[1，2），
S_△OAB=|AB|•d=•d=≤=2（当d²=4-d²即d=时S_△OAB最大），
∴S_△OAB最大值为2，
d=⇒=，n＞0，
∴n=，
m²=4-4n²=，又m＞0，
∴m=．
所以直线L的方程为x+y-12=0，即x+y-3=0．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，突出考查基本不等式的应用，考查分析、运算的能力，属于难题．