Question

（2012•泰州二模）已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD²+CE²+DE²=

26

9

，则OD+OE的最大值是

4

3

．

Answer 1

分析：设OD=a且OE=b，由余弦定理加以计算，可得CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2=

26

9

，配方整理得3ab=2（a+b）²-（a+b）-

8

9

，结合基本不等式建立不等关系，得2（a+b）²-（a+b）-

8

9

≤

3

4

（a+b）²，最后以a+b为单位解一元二次不等式，即可得到OD+OE的最大值．

解答：解：设OD=a，OE=b，由余弦定理，得
CD²=CO²+DO²-2CO•DOcos60°=a²-a+1．
同理可得CE²=b²-b+1，DE²=a²+ab+b²      
从而得到CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2=

26

9

∴2（a²+b²）-（a+b）+ab-

8

9

=0，
配方得2（a+b）²-（a+b）-3ab-

8

9

=0，即3ab=2（a+b）²-（a+b）-

8

9

…（*）
又∵ab≤[

1

2

（a+b）]²=

1

4

（a+b）²，
∴3ab≤

3

4

（a+b）²，代入（*）式，得2（a+b）²-（a+b）-

8

9

≤

3

4

（a+b）²，
设a+b=m，代入上式有2m²-m-

8

9

≤

3

4

m²，
即

5

4

m²-m-

8

9

≤0，得到-

8

15

≤m≤

4

3

，
∴m最大值为

4

3

，即OD+OE的最大值是

4

3

．

点评：本题给出扇形AOB的中心角为120°，弧AB中点为C，半径OA、OB上的点D、E满足CD²+CE²+DE²=

26

9

时，求OD+OE的最大值．着重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．