Question

已知S_n是数列{

1

n

}的前n项和；
（1）分别计算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）证明：当n≥1时，S2n-S2n-1≥

1

2

，并指出等号成立条件；
（3）利用（2）的结论，找出一个适当的T∈N，使得S_r＞2008．

Answer 1

分析：（1）较为简单，代入可计算；
（2）由（1）可猜想（2）的结论也是成立的，证明时要适当的放缩每一项（共2^n-1项）都缩小为

1

2n

，
（3）的解答可由（2）的结论想到：新数列S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄…中每一项的值都大于等于

1

2

，那么4018项的和为2009，于是对于数列{a_n}中连同a₁就有2⁴⁰¹⁹项，即a₁+S24019-S24018＞1+2009=2010．

解答：解：
（1）S₂-S₁=

1

2

，
S₄-S₂=

1

3

+

1

4

=

7

12

，
S₈-S₄=

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

=

168+140+120+105

840

=

533

840

．（2分）
（2）当n≥1时，S2n-S2n-1=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

（共2^n-1项）
≥

1

2n

×2^n-1=

1

2

，当且仅当n=1时，等号成立．（4分）
（3）由于S₁=1，当n≥1时，S2^-S2n-1≥

1

2

，
于是，要使得S_T＞2008，只需

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2007．
将

1

2

+

1

3

++

1

n

按照第一组2¹项，第二组2²项，，第n组2ⁿ项的方式分组（6分）
由（2）可知，每一组的和不小于

1

2

，且只有n=1时等于

1

2

，
将这样的分组连续取2×2007组，加上a₁，共有2⁴⁰¹⁵项，
这2⁴⁰¹⁵项之和一定大于1+2007=2008，
故只需T=2⁴⁰¹⁵，就能使得S_T＞2008．

点评：本题考查了数列前n项和的概念，不等式恒成立问题，合理猜想与逻辑推理的概念．对不等式的考查有一定的难度，综合性较强，需要同学有深厚的功底才能胜任本题的解答．