Question

已知f（x）=[3ln（x+2）-ln（x-2）]

    （Ⅰ）求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；

（Ⅱ）设F（x）=aln（x-1）－f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）f（x）＜ f（7），即当f（x）取得在[3，7]上的最大值

（Ⅱ）,当a≥1时 ≥0在（2，+∞）恒成立

解析:

（Ⅰ）………………3分

∴当2＜x＜4时，＜0，当x＞时，＞0

∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数

∴f（x）在[3，7]上的最大值应在端点处取得

∴f（x）- f（7）=

∴f（x）＜ f（7），即当f（x）取得在[3，7]上的最大值………………6分

 

（Ⅱ）F（x）是单调递增函数，∴≥0恒成立

又∴=

显然f（x）在（2，+∞）上，＞0恒成立………………10分

∴≥0在（2，+∞）恒成立时a的解情况是

当a-1＜0时，显然不可能有≥0在（2，+∞）恒成立

a-1=0=5x-8＞0在（2，+∞）恒成立

a-1＞0又有两种情况①5²+16a（a-1）（a+1）≤0

②≤2且（a-1）²×2²+5×2－4（a+1）≥0

由①得16²+9≤0，无解：由②得a≥1/4∵a-1>0∴a>1

综合上述各种情况,当a≥1时 ≥0在（2，+∞）恒成立…12分