Question

设

a

=（1-cosα，sinα），

b

=（1+cosβ，sinβ），

c

=（1，0），α、β∈（0，π），

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=

π

3

．
（1）求cos（α+β）的值；（2）设

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OD

=

d

，且

a

+

b

+

d

=3

c

求证：△ABD是正三角形．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积的坐标表示，求出cosθ1= sin

α

2

，cosθ2=cos

β

2

，结合已知可得θ1= 

π

2

-

α

2

，θ2=

β

2

，从而求出α+β=

π

3

，cos(α+β)=

1

2

（2）利用向量的加法、减法把向量

AB

，

AD

，

BD

的坐标表示出，然后求出向量的模|

AB

|，|

AD

|，|

BD

|，从而判断△ABD为等边三角形

解答：解：（1）∵α、β∈（0，π），
∴

α

2

、

β

2

∈（0，

π

2

），
故cosθ₁=

a•c

|a||c|

=

1-cosα

2-2cosα

=

1-cosα 2

=sin

α

2

=cos(

π

2

-

α

2

)，
cosθ₂=

b•c

|b||c|

=

1+cosβ

2+2cosβ

=

1+cosβ 2

=cos

β

2

，
∴θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=

β

2

．
又θ₁-θ₂=

π

3

，即

π

2

-

α

2

-

β

2

=

π

3

，可得α+β=

π

3

，故cos（α+β）=

1

2

．

（2）∵

AB

=

OB

-

OA

=

b

-

a

=（cosβ+cosα，sinβ-sinα），
∴|

AB

|=

(cosβ+cosα)2+(sinβ-sinα)2

=

2+2cos(β+α)

=

3

，
由

a

+ 

b

+

d

=3

c

，可得

d

=3

c

-

a

-

b

=（1+cosα-cosβ，-sinα-sinβ），
∵

AD

=

OD

-

OA

=

d

-

a

=（2cosα-cosβ，-2sinα-sinβ），
∴|

AD

|=

(2cosα-cosβ)2+(2sinα+sinβ)2

=

5-4cos(β-α)

=

3

，
同理可得|

BD

|=

3

，故|

AB

|=|

AD

|=|

BD

|，故△ABD是正三角形．

点评：本题综合考查向量数量积的定义及数量积的坐标表示，三角函数的诱导公式，由向量的坐标求模的求法，综合知识点较多，但都是基本运用，难度不大．