Question

设a，b，x，y∈R⁺，且a²+b²=1，x²+y²=1，试证：ax+by≤1．

Answer 1

分析：先将已知两等式相加，并重新进行变量组合，再利用均值定理得a²+x²≥2ax，b²+y²≥2by，最后同向不等式相加即可证得所需结论

解答：证明：∵a²+b²=1，x²+y²=1
∴a²+b²+x²+y²=2
∵a²+x²≥2ax，b²+y²≥2by
∴ax≤

a2+x2

2

，by≤

b2+y2

2

∴ax+by≤

a2+x2

2

+

b2+y2

2

=1
∴ax+by≤1（当且仅当a=x，且b=y时等号成立）

点评：本题考察了均值定理a²+b²≥2ab的应用，及不等式的基本性质的应用，属基础题