Question

已知f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，3），且在x=1处的切线方程是y=2x+1．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的图象经过点（0，3）求得c的值，求出函数f（x）的导函数，由在x=1处的切线方程是y=2x+1得到f′（1）=4a+2b=2，f（1）=a+b+c=3，联立后进一步求得a，b的值，则y=f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）直接由导函数大于0求解不等式得y=f（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax⁴+bx²+c的图象经过点（0，3），得
f（0）=c=3  ①
又∵f′（x）=4x³+2bx，∴f′（1）=4a+2b=2  ②
∵x=1处的切线方程是y=2x+1，有y=2+1=3，且点坐标为（1，3），
∴f（1）=a+b+c=3  ③
联立①②③得：a=1，b=-1，c=3．
∴f（x）=x⁴-x²+3；
（Ⅱ）∵f′（x）=4x³-2x=2x（2x²-1），
由f′（x）＞0，得-

2

2

＜x＜0或x＞

2

2

，
∴y=f（x）的单调递增区间为(-

2

2

，0)，(

2

2

，+∞)．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间，关键是明确导函数的符号与原函数单调性间的关系，是中档题．