Question

已知f（x）=ax²+x-a，a∈R．
（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；
（2）若不等式f（x）＞-2x²-3x+1-2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

解：（1）当a=1，不等式f（x）≥1即 x²+x-1≥1，即（x+2）（x-1）≥0，解得 x≤-2，或 x≥1，故不等式的解集为{x|x≤-2，或 x≥1}．
（2）由题意可得 （a+2）x²+4x+a-1＞0恒成立，当a=-2 时，显然不满足条件，∴．
解得 a＜2，故a的范围为（-∞，2）．
（3）若a＜0，不等式为 ax²+x-a-1＞0，即 （x-1）（x+）＜0．
∵1-=，
∴当-＜a＜0时，1＜-，不等式的解集为 {x|-1＜x＜-}；
当 a=-时，1=-，不等式即（x-1）²＜0，它的解集为∅；
当a＜-时，1＞-，不等式的解集为 {x|-＜x＜1}．
分析：（1）当a=1，不等式即（x+2）（x-1）≥0，解此一元二次不等式求得它的解集．
（2）由题意可得 （a+2）x²+4x+a-1＞0恒成立，当a=-2 时，显然不满足条件，故有 ，由此求得a的范围．
（3）若a＜0，不等式为 ax²+x-a-1＞0，即 （x-1）（x+）＜0．再根据1和-的大小关系，求得此不等式的解集．
点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．