Question

如图所示，过点S引三条直线两两垂直，一个平面与这三条直线分别交于A、B、C．求证：

(1)△ABC是锐角三角形；

(2)若△ABC的垂心O是S在平面ABC上的射影，则△SAB的面积为△OAB和△ABC面积的比例中项．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图，设SA＝a，SB＝b，SC＝c 　　∵SC⊥SB，∴在Rt△SBC中，BC＝ 　　同理，AB＝，AC＝ 　　在△ABC中，根据余弦定理： 　　cosB＝＞0，∴＜B＜ 　　同理，∴＜A＜，∴＜B＜，∴△ABC是锐角三角形． 　　(2)连CO并延长交AB于E，由题意可证得△ABC的垂心O就是S在平面内的射影． 　　∵SE⊥AB，CE⊥AB，设∠SEC＝α 　　∴OE＝，CE＝SE·cosα 　　又S△OAB＝AB·OE＝AB· 　　S△ABC＝AB·CE＝AB·SE·cosα 　　又∵S△OAB·S△ABC＝AB2·SE2＝(AB·SE)2＝(S△SAB)2 　　∴S△SAB是S△OAB与S△ABC的比例中项．