Question

【题目】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；

（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由 ，结合韦达定理代入求解即可.

（1）设点，，因为，点在直线上，

所以，.①

因为点在圆：上运动，所以.②

将①式代入②式，得曲线的方程为.

（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，

令，得的坐标为.

由，得.

设，，则有，.③

记直线，，的斜率分别为，，，

从而，，.

因为直线的方程为，所以，，

所以

.④

把③代入④，得.

又，所以，

故直线，，的斜率成等差数列.