Question

【题目】如图，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到的距离分别为4公里和5公里.

（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；

（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）

Answer 1

【答案】（1）（；（2）.

【解析】

（1）以垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为，由圆心到两点的距离相等求出，即圆心坐标，再求出半径，可得圆方程，圆弧方程在圆方程中对变量加以限制即可。

（2）设校址坐标为，，根据条件列出不等式，由函数单调性求最值解决恒成立问题。

（1）以直线为轴，为轴，建立如图所求的直角坐标系，则，，设圆心为，则，解得。即，圆半径为，∴圆方程为，

∴铁路线所在圆弧的方程为（。

（2）设校址为，，是铁路上任一点，

则对恒成立，即对恒成立，

整理得对恒成立，

记，

∵，∴，在上是减函数，

∴，即，解得。

即校址距点最短距离是。