Question

已知函数y=

2-x 2+x

+

2x-2

的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，求函数f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据根号有意义的条件和分母不能为0，求出函数的定义域；
（2）利用换元法，t=log₂x，可得g（t）=2t²+at，利用二次函数的图象和性质求出最值；

解答：解：（1）函数y=

2-x 2+x

+

2x-2

有意义，故
可得

(x-2)(2-x)≤0 2x-2≥0 x≠-2

解得x∈[1，2]；
（2）f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x，令t=log₂x，
可得：g（t）=2t²+at，t∈[0，1]，讨论对称轴可得：
对称轴x=-

a

4

，
若-

a

4

≤

1

2

即a≥-2，f（x）_max=f（1）=a+2；
若-

a

4

＞

1

2

即a＜-2，f（x）_max=f（0）=0；
∴g（t）_max=

2+a，a≥-2 0    ，a＜-2

；
∴函数f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x的最大值为：g（x）_max=

2+a，a≥-2 0    ，a＜-2

点评：此题考查函数的定义域及其求法，以及利用换元法求函数的最值问题，是一道基础题；