Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）
===
所以．
由得
所以函数f（x）的最小正周期为π，单调递减区间为（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有．
因为，
所以．
因为，
所以当时，函数f（x）取得最小值；
当时，函数f（x）取得最大值2．
分析：（Ⅰ）把f（x）中的一三项结合利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用诱导公式把余弦化为正弦后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简合并后，把f（x）化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=求出函数的周期和利用正弦函数的单调减区间求出满足条件的x的范围即可；
（Ⅱ）根据x的范围求出（Ⅰ）中化简的关系式的角2x-的范围，利用正弦函数的图象求出函数的最大值和最小值及此时相应的x的范围即可．
点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的周期公式及单调区间，是一道中档题．