Question

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，先从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片，设这两张卡片的号码分别为x，y，O为坐标原点，P（x-2，x-y），记ξ=|OP|²．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取最大值”的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，当（x，y）=（1，3）或（3，1）时，ξ取最大值，由相互独立事件的概率乘法公式求出其概率的值．
（2）易知ξ的所有可能取值为0，1，2，5，再求出ξ取各个值的概率，写出ξ的分布列，利用ξ的期望的定义求出Eξ 的值．

解答：解：（1）由题意可得，当（x，y）=（1，3）或（3，1）时，ξ取最大值，且ξ=5．
令“ξ取最大值”为事件A，
则P(A)=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

=

2

9

．----5分
（2）易知ξ的所有可能取值为0，1，2，5，当ξ=0时，（x，y）=（2，2），所以P(ξ=0)=

1

9

．
当ξ=1时，（x，y）=（1，1）或（3，3）或（2，1）或（2，3），所以P(ξ=1)=

4

9

．
当ξ=2时，（x，y）=（1，2）或（3，2），所以P(ξ=2)=

2

9

．
当ξ=5 时，（x，y）=（1，3）或（3，1），P(ξ=5)=

2

9

．
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	5
P	1 9	4 9	2 9	2 9

----10分
所以Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+5×

2

9

=2．----12

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望的求法，属于中档题．