Question

已知数列{x_n}满足下列条件：x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数，猜想x_n的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：先根据题意得到数列{x_n+1-x_n}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，继而利用累加法求得x_n的通项公式，再根据数学归纳证明即可

解答： 证明：∵x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），λ为非零常数，
∴x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），
∵x₁=a，x₂=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x₂-x₁=b-a＞0，
∴数列{x_n+1-x_n}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故x_n+1-x_n=（b-a）λ^n-1，
∴x₂-x₁=b-a，
x₃-x₂=（b-a）λ，
x₄-x₃=（b-a）λ²，
…
x_n-x_n-1=（b-a）λ^n-2，
累加得x_n-a=（b-a）（1+λ+λ²+…+λ^n-2）
当λ=1时，原数列为等差数列，x_n=（n-1）（b-a）+a
当λ≠1时，x_n=（b-a）

1-λn-1

1-λ

+a，
用数学归纳法证明，
①当n=1，n=2时，显然成立，
②假设当n=k成立，即x_k=（b-a）

1-λk-1

1-λ

+a，
那么当n=k+1时，x_k+1=x_k+（b-a）λ^k-1=（b-a）

1-λk-1

1-λ

+a+（b-a）λ^k-1=（b-a）

1-λk

1-λ

+a
即当n=n=k+1时成立，
由①②可得当λ≠1时，x_n=（b-a）

1-λn-1

1-λ

+a，

点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立，属于中档题