Question

已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.

（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；

    ①，；

②，.

（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；

（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.

Answer 1

解：（Ⅰ）①不是的一个二元基底.

理由是 ；

    ②是的一个二元基底.

理由是 ，

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                                        ………………………………………3分

（Ⅱ）不妨设，则

形如的正整数共有个；

形如的正整数共有个；

形如的正整数至多有个；

形如的正整数至多有个.

又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.

故，即. ………………………………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.

当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *

假设为的一个4元基底，

不妨设，则.

当时，有，这时或.

如果，则由，与结论*矛盾.

如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.

当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，均不可能是的4元基底.

当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.

综上，的最小可能值为5.             ……………………14分