Question

已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点．

（1）求的值；

（2）求的取值范围；

（3）试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由．

Answer 1

（1）0（2）（3）见解析

解析:

（1）解：∵，∴．

∵在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取到极小值，即．

∴．

（2）解：由（1）知，，

∵1是函数的一个零点，即，∴．

∵的两个根分别为，．

∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，

∴，即．∴．

故的取值范围为．

（3）解：由（2）知，且．

要讨论直线与函数图像的交点个数情况，

即求方程组解的个数情况．

由，得．

即．

即．

∴或．

由方程，                     （*）

得．

∵，

若，即，解得．此时方程（*）无实数解．

若，即，解得．此时方程（*）有一个实数解．

若，即，解得．此时方程（*）有两个实数解，分别为，．

且当时，，．

综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点．

当或时，直线与函数的图像有二个交点．

当且时，直线与函数的图像有三个交点．